Berechnung von 1D-Transport Problemen bei 2D-Strömung

  1. Einleitung
  2. Modell und Parameter
  3. Theoretischer Hintergrund
  4. Diskretisierung
  5. Vergleich der Berechnungsergebnisse
  6. Literatur

Einleitung

Die Verifizierung erfolgt für eine 2D stationäre Strömung und 1D Transport. Der Schadstoffeintrag erfolgt permanent und konstant. Der Ort des Eintrags ist am Modellrand, was eine sehr starke Einschränkung im Vergleich zu realen Verhältnissen darstellt. Der Grundwasserleiter ist homogen, isotrop und gespannt. Gesucht ist die Art und Weise der Schadstoffausbreitung über die Zeit. Für dieses Problem finden sich in der Literatur analytische Lösungsansätze.

Modell und Parameter

Die Länge des Modells beträgt L = 300 m und eine Breite von B = 100 m. Das Beispielmodellgebiet soll des Weiteren folgende Eigenschaften aufweisen:

Durchlässigkeitsbeiwert: kf = 5*10-4 m/s (KWER)
Mächtigkeit: m = 18 m (MAEC)
Porosität: n e= 0,2 (PORO)
Dispersivitäten αL = 7 m αT = 0,7 m (DISP, sitr-Parameter)
Anfangspotentiale: Hl = 36,00 m, Hr = 30,00 m (POTE)
Schadstoffkonzentration: c0 = 240 mg/m3(1KON)
Verzögerungsfaktor: R = 1
Abbaukonstante: λ = 0

Theoretischer Hintergrund

Die analytische Transportgleichung für einen 2D Transport lautet:



Darin bedeutet:
  • c: Konzentration [mg/m3]
  • t: Zeit [s]
  • u: Abstandsgeschwindigkeit [m/s]
  • R: Verzögerungsfaktor [-]
  • DL: longitudinaler Dispersionskoeffizient [m2/s]
  • DT: transversaler Dispersionskoeffizient [m2/s]
  • λ: Abbaukonstante [1/s]

Der Verzögerungsfaktor berechnet sich mit:


und der longitudinale Dispersionskoeffizient zu:


sowie der transversale Dispersionskoeffizient zu:


Die Anfangsbedingung lautet:


und die Randbedingungen sind gegeben mit:


und


Dies führt zur Basislösung der Transportgleichung zwei Dimensionalen Fall:



Darin bedeutet:
  • ΔM: gesamte Stoffmasse [mg]
  • ne: effektive Porosität [-]
  • ca: Konzentration der adsorbierten Phase [mg/m3]
  • ρ: Dichte des trockenen Matrixmaterials [t/m3]
  • m: Mächtigkeit des Grundwasserleiters [m]
  • αL: Dispersivität (longitudinal) [m]

  • αT: Dispersivität (transversal) [m]

ΔM berechnet sich mit


Die Lösung für einen zweidimensionalen Transport in homogener Parallelströmung bei einem permanenten und konstanten Stoffeintrag am Modellrand x = 0 und dem Start des Eintrags im Zeitpunkt t = 0 ergibt sich dann zu:


mit


Das Integral führt auf die Hantush-Funktion


somit ergibt sich


In dieser Gleichung bedeutet neben den schon genannten Bezeichnungen:
  •

: Zugaberate des Stoffeintrags [mg/s]
  • γ: Aktivitätskoeffizient [-]
  •

: Anfangsverteilung der Stoffkonzentration [mg/m3]

In dieser Gleichung berechnet sich

und γ mit:  


Eine Näherungslösung der Hantush-Funktion wird durch eine Laplace-Approximation erreicht. Hiermit ergibt sich die Hantush-Funktion zu


und die analytische Lösung der zweidimensionalen Transportgleichung zu:


Da es sich um eine Näherungslösung handelt, besitzt diese Lösung einen Fehler von unter 10%, wenn gilt:


Der Fehler beträgt nur noch maximal 1%, wenn gilt:


Diskretisierung

In der transport_2D.zip Datei befindet sich die Datei Transport_2D.net. Mit dieser Netzdatei ist die Verifizierung durchgeführt worden. Es wurde ein Horizontalmodell mit der Zeiteinheit Jahr erstellt. Die Eingabeparameter stehen in der Tabelle im Abschnitt "Modell und Parameter". Das verwendete Netz ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

In SPRING berechnete Isolinien der Konzentration‌‌

Die graphische Darstellung der berechneten Konzentrationsverteilung nach einer Zeit von 200 Tagen zeigt die nächste Abbildung. Dargestellt sind Isolinien mit den neun Einzelwerten 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 und 45.

FE-Modellnetz in SPRING

Vergleich der Berechnungsergebnisse

In der folgenden Abbildung sind die Ergebnisse von SPRING und der analytischen Lösung gegenüber gestellt. Die analytische Lösung ist mit der Datei Transport_2D.xls berechnet worden. Diese befindet sich ebenfalls in der transport_2D.zip Datei. Wenn eine obere und untere Hüllkurve betrachtet wird, die den Fehler der Approximation der Basislösung darstellt, so wird deutlich, dass nahezu alle berechneten Konzentrationen von SPRING innerhalb dieser begrenzenden Kurven liegen. Da für den Fehler nur die Angabe größer als 10% angegeben ist, wird in der Abbildung ein Fehler von 20% angenommen. Für die berechneten Werte, die außerhalb dieser Grenzen liegen, gilt, dass sie sich nur unwesentlich von dieser Grenze unterscheiden. Durch Netzverfeinerungen würde dieser Umstand entfallen und die berechneten Werte würden innerhalb der Hüllkurven liegen.
[Anmerkung: In Excel 2000 muss für die Formeln erfc eingegeben werden. In EXCEL 2002 heißt die Funktion statt erfc jetzt Gausfkompl. Die Berechnung von z.B. erfc(-0,5) erfolgt etwas umständlicher, da EXCEL an dieser Stelle falsch rechnet.]

Vergleich der analytischen Lösung mit den Ergebnissen aus SPRING‌‌

Literatur

[David] Ioan David; Grundwasserhydraulik Strömungs- und Transportvorgänge, Vieweg, 1997
[Kinzelbach] W. Kinzelbach; Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen im Grundwasser, Oldenbourg, 1987
[SPRING] SPRING; Simulation of Processes in Groundwater, Programm- beschreibung,Version 3.2