Entnahme aus einem freien GWL bei stationärer Strömung

1. Einleitung
2. Modell und Parameter
3. Theoretischer Hintergrund
4. Diskretisierung
5. Vergeleich der Berechnungsergebnisse
6. Literatur

Einleitung

Dieses Berechnungsbeispiel betrachtet einen homogenen und isotropen Grundwasserleiter aus dem bei einer stationä Strömung aus einem Brunnen Wasser entnommen wird. Gesucht ist die sich einstellende Absenkung des Grundwasserspiegels auf Grund der Entnahme. Für dieses Problem finden sich in der Literatur analytische Lösungsansätze.

Modell und Parameter

In der unten stehenden Abbildung ist eine prinzipielle Darstellung der Grundwasserabsenkung eines freien Grundwasserleiters mit der Entnahme mittels eines Einzelbrunnens dargestellt.

Das Beispielmodellgebiet soll folgende Eigenschaften aufweisen:

Durchlässigkeitsbeiwert: \(k _{f} = 5 \cdot 10 ^{-4}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)  (KWER)
Mächtigkeit: \(m = 45\,\text{m}\) (GELA & UNTE)
Reichweite: \(R = 500\,\text{m}\) (Modellausdehnung)  
Brunnenradius: \(r _{0}  = 0.3\,\text{m}\)  
Anfangspotentiale: \(H _{0}  = 40.00\,\text{m}\) & \(H_{B} = 32.55\,\text{m}\) (POTE)

Theoretischer Hintergrund

Für die analytische Lösung einer 2-D Strömung wird mit der Potentialfunktion und der Stromfunktion eine Laplace partielle Differentialgleichung hergeleitet. Die differenzierbare Funktion einer komplexen Variablen für dieses Problem lautet:
\( F(z) = -\frac{Q}{2\pi}\cdot \ln(z) = -\frac{Q}{2\pi}\cdot \ln\left(x + i \cdot y\right)\text.\)

Mit der Potential- und Stromfunktion
\( \varphi\left(x,y\right) = \text{Re}\left\{F(z)\right\} = -\frac{Q}{2\pi} \cdot \ln\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) = -\frac{Q}{2\pi} \cdot \ln(r) \)
\( \psi\left(x,y\right) = \text{Im}\left\{F(z)\right\} = -\frac{Q}{2\pi} \cdot \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \)
ergeben sich kreisförmige Potentiallinien und geradlinige Stromlinien. Die Randbedingungen werden durch \(h(R) = H_0\) und \(h(r_0) = H_B\) vorgegeben. Die Ergiebigkeit des Brunnen lässt sich über den Ansatz
\( -\frac{Q}{2\pi} \ln(r) = \varphi\left(x,y\right) = -k_f \frac{h^2}{2} + c \)
und mit Hilfe einer der Randbedingungen berechnen zu
\( Q=\frac{\pi \cdot k_f \cdot \left(H_0^2 - H_B^2\right)}{\ln \left(\frac{R}{r_0}\right)}\text.\)

Wenn die Entnahme vorgegeben ist und die sich einstellende Höhe im Brunnen berechnet werden soll, geschieht dies mit der Umstellung der obigen Funktion nach
\( H_B = \sqrt{-\frac{Q \cdot \ln\left(\frac{R}{r_0}\right)}{\pi \cdot k_f} + H_0^2}\text.\)

Die Standrohrspiegelhöhe lässt sich mit
\( -\frac{Q}{2\pi} \ln(r) = \varphi\left(x,y\right) = -k_f \frac{h^2}{2} + c \)
und der Randbedingung \(h(r_0) = H_B\) bestimmen. Hierzu wird die obige Formel umgestellt nach \(h\), so dass sich ergibt:
\( h(r) = \sqrt{\left[\frac{Q}{2\pi} \ln(r) + c\right] \cdot \frac{2}{k_f}} \)

In diese Gleichung wird die Randbedingung \(h(r_0) = H_B\) eingesetzt und die Konstante \(c\) ermittelt.
\( c = H_B^2 \cdot \frac{k_f}{2} - \frac{Q}{2\pi} \ln(r_0) \)

Die Konstante \(c\) eingesetzt in \(h(r)\) ergibt:
\( h(r) = \sqrt{\left[\frac{Q}{2\pi}\ln(r) + H_B^2 \cdot \frac{k_f}{2} - \frac{Q}{2\pi}\ln(r_0)\right] \cdot \frac{2}{k_f}} \)

Diese Gleichung kann noch durch Umformungen zusammengefasst werden und es ergibt sich:  
\( h(r) = \sqrt{H_B^2 + \frac{Q}{\pi\cdot k_f} \cdot \ln\left(\frac{r}{r_{0}}\right)} \)

Mit den oben gegebenen Randbedingungen des Modellgebietes lässt sich mit der Gleichung von Sichardt für die Reichweite die Höhe im bzw. am Brunnen berechnen.
\( R = 3000 \cdot \left(H_0 - H_B\right) \cdot \sqrt{k_f} \)
daraus folgt
\( H_B = H_0 - \frac{R}{3000 \cdot \sqrt{k_f}} = 40 - \frac{500}{3000 \cdot \sqrt{0.0005}} = 32.54644\,\text{m}\)
(siehe oben gemachte Angaben bezüglich der Modellparameter)

Die Ergiebigkeit des Brunnens bestimmt sich zu
\( Q = \frac{\pi \cdot k_f \cdot \left(H_0^2 - H_B^2\right)}{\ln\left(\frac{R}{r_0}\right)} = \frac{\pi \cdot 0.0005 \cdot \left(40^2 - 32.55^2\right)}{\ln\left(\frac{500}{0.3}\right)} = 0,114\,\tfrac{\text{m}^3}{s} \text.\)

Diskretisierung

In der Brunnen_f_s.zip Datei befindet sich die Datei Brunnen_frei_stat.net. Mit dieser Netzdatei ist die Verifizierung durchgeführt worden. Es wurde ein Horizontalmodell mit der Zeiteinheit Jahr erstellt. Die Eingabeparameter stehen in der Tabelle im Abschnitt "Modell und Parameter". Das verwendete Netz ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Vergleich der Berechnungsergebnisse

In der folgenden Abbildung sind die Ergebnisse von SPRING und der analytischen Lösung gegenüber gestellt. Die analytische Lösung ist mit der Datei Brunnen_frei_stat.xls berechnet worden. Diese befindet sich ebenfalls in der brunnen_f_s.zip Datei. Es ist deutlich zu sehen, dass die Lösung von SPRING kaum abweicht. Der maximale Unterschied zwischen den zwei berechneten PotentialhÖen betrÄgt 0,05 m. Die Ergiebigkeit, welche sich bei SPRING ermittelt, weicht um -0,00241 m³/s ab. Dies ist eine Menge, die vernachlässigbar ist. Durch eine weitere Verfeinerung des Netzes in der Nähe des Entnahmepunktes, ist zu erwarten, dass diese Differenzen noch kleiner werden.

Literatur

[David] Ioan David; Grundwasserhydraulik Strömungs- und Transportvorgänge, Vieweg, 1997
[Kinzelbach] W. Kinzelbach; Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen im Grundwasser, Oldenbourg, 1987
[SPRING] SPRING; Simulation of Processes in Groundwater, Programm- beschreibung,Version 3.2